В 1983 году окончил с отличием Музыкальное училище им. Ипполитова-Иванова (класс М. И. Пекарского). В 1990 году окончил ГМПИ (ныне — РАМ) имени Гнесиных (класс преподавателя В. В. Федина).
В 1988 году удостоен звания лауреата Всероссийского конкурса музыкантов-исполнителей на медных духовых и ударных инструментах в г. Ленинграде. С 1991 года А. В. Суворов — преподаватель класса ударных инструментов РАМ имени Гнесиных.
Среди студентов и выпускников класса А. В. Суворова — лауреаты Всероссийских и Международных конкурсов и фестивалей, артисты ведущих творческих коллективов нашей страны. А. В. Суворов регулярно принимает участие в работе жюри Всероссийских и Международных конкурсов исполнителей на духовых и ударных инструментах. Проводит мастер-классы в различных образовательных учреждениях России и за рубежом. Является автором ряда публикаций в области исполнительства на ударных инструментах.
С 1990 года по настоящее время А. В. Суворов — солист Российского национального оркестра п/у М. Плетнева.
С 2013 года — концертмейстер группы ударных инструментов РНО.
А. В. Суворов регулярно принимает участие в творческих проектах Московского Ансамбля Современной Музыки, Московского Камерного Оркестра «Musica Viva» п/у А. Рудина, оркестра musicAeterna п/у Т. Курентзиса и многих других.
За многолетний период творческой деятельности в качестве солиста РНО, камерного и сольного исполнителя сотрудничал с выдающимися солистами-инструменталистами, вокалистами и дирижерами: Л. Паваротти, Х. Каррерас, М. Кабалье, Д. Хворостовский, А. Нетребко, М. Аргерих, Е. Кисин, И. Перлман, С. Чанг, В. Мулова, В. Репин, М. Ростропович, М. Майский, М. Плетнев, В. Спиваков, Е. Светланов, В. Федосеев, В. Гергиев, К. Нагано, С. Бычков и др.
Принимал участие в Международных музыкальных фестивалях: «BBC PROMS» в Лондоне, «Эдинбургский фестиваль», «Зальцбургский фестиваль», Летний фестиваль в Кольмаре, «Декабрьские вечера»; фестивалях классической и современной музыки в Люцерне, Цюрихе, Инсбруке, Амстердаме, Глазго, Варшаве, Загребе, Риме, Монтрё, Гштааде и многих других.
Участвовал в записях компакт-дисков ведущих мировых фирм звукозаписи: Deutsche Grammophon, Virgin Classics, PentaTon Classics и др.