Алексей Богорад родился в Москве. Учился в Центральной музыкальной школе, с отличием окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского как кларнетист (класс Владимира Соколова) и дирижер (класс Геннадия Рождественского).
Лауреат международных конкурсов дирижеров: имени Стефана Турчака — II премия (2010, Киев), имени Ловро фон Матачича — I премия (2011, Загреб).
В 1997-2012 гг. солист оркестра Большого театра, а также Российского национального оркестра под управлением Михаила Плетнева (2001-2011).
В 2011-2012 гг. — ассистент Владимира Юровского, художественного руководителя Государственного академического симфонического оркестра имени Е. Ф. Светланова. На эти годы приходится сотрудничество с такими выдающимися дирижерами, как: Евгений Светланов, Мстислав Ростропович, Юрий Темирканов, Валерий Гергиев, Семен Бычков, Пааво Берглунд, Зубин Мета, Кент Нагано, Шарль Дютуа.
С 2012 года дирижер Большого Театра России. В качестве дирижера выступал с ведущими оркестрами России: Российским национальным оркестром, Национальным филармоническим оркестром России, Симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии, Государственным академическим камерным оркестром России, Симфоническим оркестром Республики Татарстан, Пермским и Якутским театрами оперы и балета, симфоническим оркестром Михайловского театра. Продолжает регулярно сотрудничать с ГАСО имени Е. Светланова, симфоническими оркестрами Литвы, Украины, Хорватии, Норвегии, а также Пражским и Белградским национальными театрами, театром Сан Карло (Неаполь).
Дирижер-постановщик спектаклей: «Щелкунчик» (2011, Япония), «Мойдодыр», «Дитя и волшебство», «Путеводитель по оркестру» (2012, Большой Театр), «История солдата» (2013, Театр-студия ИРТ), «Корсар» (2014, Театр Сан Карло, Неаполь).
В репертуаре оперы: «Дон Жуан», «Руслан и Людмила», «Фауст», «Богема», «Тоска», «Мадам Баттерфляй», «Травиата», «Риголетто», «Летучий Голландец», «Иоланта», «Евгений Онегин», «Пиковая дама», «Царская невеста», «Майская ночь», «Воццек», «Огненный ангел», «Дитя и волшебство», а также обширный балетный репертуар.