Алексей Богорад родился в Москве. Учился в Центральной Музыкальной Школе, с отличием окончил Московскую государственную консерваторию имени П.И. Чайковского как кларнетист (класс Владимира Соколова) и дирижёр (класс Геннадия Рождественского).
Лауреат международных конкурсов дирижеров: имени Стефана Турчака 2-я премия (Киев 2010), имени Ловро фон Матачича 1-я премия (Загреб 2011).
В 1997-2012 годах солист оркестра Большого театра, а также Российского Национального Оркестра под управлением Михаила Плетнёва (2001 – 2011).
В 2011-12 — ассистент Владимира Юровского, художественного руководителя Государственного академического симфонического оркестра им. Е. Ф. Светланова. На эти годы приходится сотрудничество с такими выдающимися дирижерами как: Евгений Светланов, Мстислав Ростропович, Юрий Темирканов, Валерий Гергиев, Семен Бычков, Пааво Берглунд, Зубин Мета, Кент Нагано, Шарль Дютуа.
С 2012 года дирижер Большого Театра России.
В качестве дирижёра выступал с ведущими оркестрами России: Российским Национальным Оркестром, Национальным Филармоническим Оркестром России, Симфоническим оркестром Санкт-Петербургской филармонии, Государственным Академическим Камерным оркестром России, Симфоническим оркестром Республики Татарстан, Пермским и Якутским театрами оперы и балета, симфоническим оркестром Михайловского театра. Продолжает регулярно сотрудничать с ГАСО им. Светланова, симфоническими оркестрами Литвы, Украины, Хорватии, Норвегии, а также Пражским и Белградским Национальными театрами, театром Сан Карло (Неаполь).
Дирижер-постановщик спектаклей: «Щелкунчик» (2011, Япония), «Мойдодыр», «Дитя и волшебство», «Путеводитель по оркестру» (2012, Большой Театр), «История солдата» (2013, Театр-студия ИРТ), «Корсар» (2014, Театр Сан Карло, Неаполь).
В репертуаре оперы: «Дон Жуан», «Руслан и Людмила», «Фауст», «Богема», «Тоска», «Мадам Баттерфляй», «Травиата», «Риголетто», «Летучий Голландец», «Иоланта», «Евгений Онегин», «Пиковая дама», «Царская невеста», «Майская ночь», «Воццек», «Огненный ангел», «Дитя и волшебство», а также обширный балетный репертуар).