Кузьма Бодров родился в 1980 году в г. Ош (Киргизия).
В 2005 году окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского по классу композиции А. В. Чайковского.
В настоящее время ведет класс композиции в консерватории. С сентября 2021 года возглавил кафедру композиции РАМ имени Гнесиных. Член Совета Союза композиторов России.
Музыка Кузьмы Бодрова звучит в России, Европе, Америке, Австралии и Новой Зеландии. Ее исполняют такие коллективы, как:
Кузьма Бодров сотрудничал с известными музыкантами, среди которых Юрий Башмет, Юрий Симонов, Александр Сладковский, Борис Тевлин, Владимир Зива, Никита Борисоглебский, Екатерина Мечетина, Александр Соловьев, Борха Кинтас, Сергей Стадлер, Борис Березовский, Вадим Репин, Мария Байо, Сергей Антонов, Александр Тростянский, Елена Ревич и Вадим Холоденко.
Кузьма Бодров – участник Лаборатории режиссера и художника Дмитрия Крымова. Сотрудничал в кинематографе с такими режиссерами, как Андрей Кравчук, Константин Хабенский и Павел Лунгин. Музыкальный руководитель проекта образовательных анимационных фильмов «Сказки старого пианино», получившего премию Правительства РФ за 2013 год. Обладатель премии Министерства Обороны Российской Федерации за музыку к фильму Константина Хабенского «Собибор».
С 2011 года Кузьма Бодров является композитором-резидентом оркестра JMJ в Мадриде. Автор нескольких произведений написанных для мессы Его Святейшества Папы Римского Бенедикта XVI (2011).
С 2012 года – приглашенный профессор Высшей школы музыки Катарины Гурски в Мадриде. Преподает на Высших курсах режиссеров и сценаристов в Москве.
За свои произведения Кузьма Бодров удостоен премий многих всероссийских и международных конкурсов, в том числе:
Обладатель премии Д. Д. Шостаковича от Московской консерватории.
В 2011 году был назван «Персоной года» газетой «Музыкальное обозрение» (номинация «Новое поколение – музыкант года»).